用程序來求積分的方法有很多，這篇文章主要是有關(guān)牛頓-科特斯公式。
學過插值算法的同學最容易想到的就是用插值函數(shù)代替被積分函數(shù)來求積分，但實際上在大部分場景下這是行不通的。
插值函數(shù)一般是一個不超過n次的多項式，如果用插值函數(shù)來求積分的話，就會引進高次多項式求積分的問題。這樣會將原來的求積分問題帶到另一個求積分問題：如何求n次多項式的積分，而且當次數(shù)變高時，會出現(xiàn)龍悲歌現(xiàn)象，誤差反而可能會增大，并且高次的插值求積公式有可能會變得不穩(wěn)定：詳細原因不贅述。
牛頓-科特斯公式解決這一問題的辦法是將大的插值區(qū)間分為一堆小的插值區(qū)間，使得多項式的次數(shù)不會太高。然后通過引入?yún)?shù)函數(shù)
將帶有冪的項的取值范圍固定在一個固定范圍內(nèi)，這樣一來就將多項式帶有冪的部分的求積變?yōu)橐粋€固定的常數(shù)，只需手工算出來即可。這個常數(shù)可以直接帶入多項式求積函數(shù)。
上式中x的求積分區(qū)間為[a, b]，h = (b - a)/n, 這樣一來積分區(qū)間變?yōu)閇0， n]，需要注意的是從這個公式可以看出一個大的區(qū)間被分為n個等長的小區(qū)間。 這一部分具體請參見任意一本有關(guān)數(shù)值計算的書！
n是一個事先確定好的值。
又因為一個大的插值區(qū)間需要被分為等長的多個小區(qū)間，并在這些小區(qū)間上分別進行插值和積分，因此此時的牛頓-科特斯公式被稱為：復化牛頓-科特斯公式。
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