經(jīng)過漫長的預(yù)熱，終于要開始看概率論了，心里還是比較開心的。本著把數(shù)學(xué)應(yīng)用到計(jì)算機(jī)工業(yè)中的初心，將大學(xué)數(shù)學(xué)的基本學(xué)科梳理了一遍，收獲卻是意外的大。原本只想把基本概念回顧一遍，但一旦沾上了公理化的思想，后續(xù)的學(xué)習(xí)就沒法騎馬觀燈似地飛奔了。但也正因放慢了腳步，才發(fā)現(xiàn)過去對數(shù)學(xué)的認(rèn)識是一片空白的。數(shù)學(xué)的問題和方法并不屬于某個(gè)獨(dú)立的領(lǐng)域，它就是這個(gè)邏輯世界的基本問題和方法，是萬物的組織形態(tài)和原理。
1. 樣本空間
概率統(tǒng)計(jì)可能是當(dāng)今程序員認(rèn)為最有用的數(shù)學(xué)了，當(dāng)然這只是因?yàn)槲覀冋锰幱谶@個(gè)發(fā)展階段。數(shù)學(xué)從來就是工業(yè)革命的助推器，不過不同的階段的主角有所不同而已。現(xiàn)實(shí)問題永遠(yuǎn)是復(fù)雜的、甚至不確定的，數(shù)學(xué)也從來沒有企圖精確地描述這個(gè)世界，而永遠(yuǎn)是針對我們關(guān)心的某個(gè)側(cè)面，提取其通用的模型。概率論也不例外，它并不是這個(gè)不確定世界的終極克星，而同樣只研究那些隨機(jī)現(xiàn)象中的確定性問題。
首先，對隨機(jī)現(xiàn)象的限定就要求其有“確定性”：在重復(fù)試驗(yàn)中要表現(xiàn)出穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。那些雜亂無章的現(xiàn)象，或現(xiàn)象中不可預(yù)見的側(cè)面，并不屬于概率論的研究的范疇。其次，討論的問題和結(jié)論也是有明確的定義和結(jié)果的，它們同樣是通過嚴(yán)格論證推導(dǎo)出來的確定性結(jié)果。能正視這個(gè)問題，才不至于把概率統(tǒng)計(jì)捧上天，而忽略了它的數(shù)學(xué)本質(zhì)。
以上廢話只是我的個(gè)人見解，你大可認(rèn)為我在虛張聲勢，下面我們就來好好談?wù)劊菏裁词歉怕?？相信很多人會說是“可能性、隨機(jī)性、不確定性”的度量，這個(gè)回答還是讓人一頭霧水：什么叫“可能性”？如何“度量”它？如果你有基本的公理思想，就不會拿出這種有循環(huán)定義之嫌的解釋，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義也從來不是一種修辭性的描述。學(xué)習(xí)如何定義概念，是數(shù)學(xué)抽象的第一步，也是后續(xù)理論的起點(diǎn)和根基。
先來看看我們要討論的對象：它是一些隨機(jī)現(xiàn)象，即事情的結(jié)果有多種可能，究竟是哪種結(jié)果并不確定。但經(jīng)驗(yàn)或直觀又往往告訴我們：這些結(jié)果發(fā)生的“可能性”有著比較穩(wěn)定的值，或者大量的試驗(yàn)結(jié)果會有規(guī)律性的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。隨機(jī)現(xiàn)象非常多，有些是我們直觀上能理解的，比如一個(gè)質(zhì)地均勻的篩子，一般認(rèn)為六個(gè)面出現(xiàn)的可能性是一樣的。還有一些卻是靠著經(jīng)驗(yàn)總結(jié)的，比如車站客流量、降水量等。但現(xiàn)實(shí)中任何隨機(jī)現(xiàn)象都有著復(fù)雜的物理成因，過程中它們相互融合，根本無法精確地計(jì)算每時(shí)每刻的狀態(tài)。
幸好概率論并不關(guān)心詳細(xì)的過程，也不負(fù)責(zé)解釋這一切現(xiàn)象，它只負(fù)責(zé)用數(shù)學(xué)來描述隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象的成因復(fù)雜多變，很多都不是概率論的討論范疇，但還有一些可以分解為更小的隨機(jī)現(xiàn)象，這些現(xiàn)象便可以由概率論自身來解釋。但是必須有大家都認(rèn)同的、無異議的描述，才可以在此基礎(chǔ)上研究一些確定性的問題。數(shù)學(xué)語言的基本元素是集合，還有其衍生出來的數(shù)、映射等常用概念，我們自然也是從集合開始定義概率。
一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中最適合抽象成集合的是什么？當(dāng)然是所有可能的隨機(jī)結(jié)果。所有結(jié)果組成的集合
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