經(jīng)過漫長的預熱，終于要開始看概率論了，心里還是比較開心的。本著把數(shù)學應用到計算機工業(yè)中的初心，將大學數(shù)學的基本學科梳理了一遍，收獲卻是意外的大。原本只想把基本概念回顧一遍，但一旦沾上了公理化的思想，后續(xù)的學習就沒法騎馬觀燈似地飛奔了。但也正因放慢了腳步，才發(fā)現(xiàn)過去對數(shù)學的認識是一片空白的。數(shù)學的問題和方法并不屬于某個獨立的領域，它就是這個邏輯世界的基本問題和方法，是萬物的組織形態(tài)和原理。
1. 樣本空間
概率統(tǒng)計可能是當今程序員認為最有用的數(shù)學了，當然這只是因為我們正好處于這個發(fā)展階段。數(shù)學從來就是工業(yè)革命的助推器，不過不同的階段的主角有所不同而已?，F(xiàn)實問題永遠是復雜的、甚至不確定的，數(shù)學也從來沒有企圖精確地描述這個世界，而永遠是針對我們關心的某個側面，提取其通用的模型。概率論也不例外，它并不是這個不確定世界的終極克星，而同樣只研究那些隨機現(xiàn)象中的確定性問題。
首先，對隨機現(xiàn)象的限定就要求其有“確定性”：在重復試驗中要表現(xiàn)出穩(wěn)定的統(tǒng)計規(guī)律。那些雜亂無章的現(xiàn)象，或現(xiàn)象中不可預見的側面，并不屬于概率論的研究的范疇。其次，討論的問題和結論也是有明確的定義和結果的，它們同樣是通過嚴格論證推導出來的確定性結果。能正視這個問題，才不至于把概率統(tǒng)計捧上天，而忽略了它的數(shù)學本質。
以上廢話只是我的個人見解，你大可認為我在虛張聲勢，下面我們就來好好談談：什么是概率？相信很多人會說是“可能性、隨機性、不確定性”的度量，這個回答還是讓人一頭霧水：什么叫“可能性”？如何“度量”它？如果你有基本的公理思想，就不會拿出這種有循環(huán)定義之嫌的解釋，嚴格的數(shù)學定義也從來不是一種修辭性的描述。學習如何定義概念，是數(shù)學抽象的第一步，也是后續(xù)理論的起點和根基。
先來看看我們要討論的對象：它是一些隨機現(xiàn)象，即事情的結果有多種可能，究竟是哪種結果并不確定。但經(jīng)驗或直觀又往往告訴我們：這些結果發(fā)生的“可能性”有著比較穩(wěn)定的值，或者大量的試驗結果會有規(guī)律性的統(tǒng)計結果。隨機現(xiàn)象非常多，有些是我們直觀上能理解的，比如一個質地均勻的篩子，一般認為六個面出現(xiàn)的可能性是一樣的。還有一些卻是靠著經(jīng)驗總結的，比如車站客流量、降水量等。但現(xiàn)實中任何隨機現(xiàn)象都有著復雜的物理成因，過程中它們相互融合，根本無法精確地計算每時每刻的狀態(tài)。
幸好概率論并不關心詳細的過程，也不負責解釋這一切現(xiàn)象，它只負責用數(shù)學來描述隨機現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象的成因復雜多變，很多都不是概率論的討論范疇，但還有一些可以分解為更小的隨機現(xiàn)象，這些現(xiàn)象便可以由概率論自身來解釋。但是必須有大家都認同的、無異議的描述，才可以在此基礎上研究一些確定性的問題。數(shù)學語言的基本元素是集合，還有其衍生出來的數(shù)、映射等常用概念，我們自然也是從集合開始定義概率。
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